チューリングマシンシミュレーター＆解説

チューリングマシンによる特定記号の削除：シミュレーターで追う動作ステップ

Tags: チューリングマシン, 計算理論, アルゴリズム, テープ操作, シミュレーター

はじめに

チューリングマシンは、計算の究極的なモデルとして計算機科学の基礎をなしています。その基本的な動作は、テープ上の記号を読み取り、書き換え、ヘッドを移動させ、状態を遷移させることですが、これらの単純な操作の組み合わせによって、驚くほど多様な計算を実現できます。

本記事では、チューリングマシンがテープ上に書かれた特定の記号をすべて削除し、削除によって生じた空白を詰める（後続の記号を左にシフトする）操作をどのように行うか、その具体的な動作ステップを解説します。この操作は、文字列処理における基本的な操作の一つであり、チューリングマシンのテープ操作能力を理解する上で良い例となります。シミュレーター上でこのアルゴリズムを実行することで、理論上の状態遷移やテープ変化がどのように具体化されるのかを視覚的に確認することができます。

特定記号削除の課題

テープ上から特定の記号（ここでは例として'x'とします）を削除するだけなら簡単そうに思えますが、単に'x'を空白記号（ここでは'B'とします）に書き換えるだけでは、'x'があった場所に空白が残ってしまいます。

例：axbycxd というテープ内容から 'x' を削除する場合 単純な書き換え：a B y B c B d （Bは空白記号）

求められる結果は、削除された記号によってできた隙間が詰められた状態、つまり abycd となることです。そのためには、'x'を削除した後に、その右側にある記号を一つずつ左にシフトさせる操作が必要になります。

アルゴリズムの概要

特定記号（'x'）を削除し、空白を詰めるアルゴリズムは、以下のような流れで実現できます。

  1. テープの左端から開始し、特定の記号（'x'）を探します。
  2. 'x'を見つけたら、その'x'を一時的にマークするか、あるいはすぐに後続の記号を左にシフトする準備をします。
  3. 'x'を見つけた位置から右方向へ移動し、次の非空白記号を探します。
  4. 見つけた非空白記号を、'x'が見つかった位置にコピーします。
  5. コピー元の非空白記号があった位置を空白記号で上書きします。
  6. テープ全体を右端まで見て、左シフトが必要な記号がなくなるまで、ステップ3-5を繰り返します。
  7. テープの右端までシフトが完了したら、元の'x'があった位置（またはコピー先の位置）の右隣から再び'x'を探す操作に戻ります。
  8. テープの右端まで走査しても'x'が見つからなければ処理を終了します。

この処理を実現するために、チューリングマシンは複数の状態を持つ必要があります。

状態設計

このアルゴリズムを実現するためのチューリングマシンの状態遷移の例を考えます。使用するアルファベットは、入力記号（a, b, c, d, yなど）、削除対象記号（x）、空白記号（B）、そして処理中に使用する一時的なマーク記号（例：右端を示す'#'など）とします。

シミュレーターでの動作ステップ例

例として、テープ内容が axbycxd# （#は終端記号）の場合に、記号 'x' を削除するシミュレーターでの動作を追ってみましょう。初期状態は Find_X、ヘッドは一番左の 'a' の位置にあるとします。

  1. 状態: Find_X

    • ヘッド位置 1: 'a' を読む -> 'a' のまま, 右移動, 状態 Find_X
    • ヘッド位置 2: 'x' を読む -> 状態 Shift_Start へ遷移, 右移動
    • テープ: axbycxd# -> axbycxd#
    • ヘッド: a->x

  2. 状態: Shift_Start (最初の 'x' の右隣から開始)

    • ヘッド位置 3: 'b' を読む -> 状態 Shifting へ遷移, 右移動

  3. 状態: Shifting (シフト処理 - この部分はシミュレーターでの詳細な状態遷移として表現されます)

    • ヘッド位置 4: 'y' を読む -> この 'y' を左（'x' があった位置）にコピーする準備。
    • ...複雑な状態遷移を経て、'y' を 'x' の位置（位置2）に書き込み、元の 'y' の位置（位置4）を空白にする。
    • テープ: axbycxd# -> ayBycxd# （yを左にシフト）

    • ヘッドはさらに右へ移動し、次の記号を探す。

    • ヘッド位置 5: 'c' を読む -> この 'c' を左（'y' が書き込まれた位置の右隣、つまり元の 'b' の位置3）にコピーする準備。

    • ...同様に 'c' を位置3に書き込み、元の 'c' の位置（位置5）を空白にする。

    • テープ: ayBycxd# -> aycByxd# （cを左にシフト）

    • ヘッド位置 6: 'x' を読む -> 削除対象の 'x' ですが、ここではシフト元の記号として扱います。この 'x' を左（'c' が書き込まれた位置の右隣、つまり元の 'B' の位置4）にコピーする準備。

    • ... 'x' を位置4に書き込み、元の 'x' の位置（位置6）を空白にする。

    • テープ: aycByxd# -> aycxB d# （xを左にシフト）

    • ヘッド位置 7: 'd' を読む -> この 'd' を左（'x' が書き込まれた位置の右隣、つまり元の 'B' の位置5）にコピーする準備。

    • ... 'd' を位置5に書き込み、元の 'd' の位置（位置7）を空白にする。

    • テープ: aycxB d# -> aycxdB # （dを左にシフト）

    • ヘッド位置 8: '#' を読む -> テープの終端に到達しました。これ以上シフトすべき記号はありません。

    • ここで、最初に削除対象として見つけた 'x' の位置（位置2）を空白 'B' で上書きする必要があります。これは Shifting 状態の最終ステップで行うか、Shift_Start 状態からの遷移で実現できます。ここでは位置2が 'y' で上書きされているため、最後に余分な空白ができてしまいます。これを避けるためには、'x' を見つけた位置に、右からシフトしてきた記号を直接書き込むように状態設計を工夫する必要があります。

    より洗練されたアプローチとしては、以下のようになります。 1. Find_X で 'x' (位置2) を見つける。 2. 状態 Shift_Mode へ遷移し、ヘッドを右に進める (位置3)。 3. Shift_Mode で非空白記号 'b' (位置3) を見つける。これを 'x' があった位置2に書き込む。テープは abyycxd# となる。ヘッドは元の 'b' の位置3に戻る。 4. 位置3を空白 'B' で上書きする。テープは aByycxd# となる。ヘッドは右へ移動 (位置4)。 5. 位置4の 'y' を見つける。これを一つ左、つまり位置3に書き込む。テープは abyBcxd# となる。ヘッドは元の 'y' の位置4に戻る。 6. 位置4を空白 'B' で上書きする。テープは abBBcxd# となる。ヘッドは右へ移動 (位置5)。 7. ...この操作を '#' に到達するまで繰り返します。 8. 最終的にテープは abycdBBB# のようになります。後続の空白記号はチューリングマシンによっては無視されるか、別の後処理状態ですべて削除される場合がありますが、ここでは abycd 部分が正しく生成されたと見なします。

    シミュレーターでこの動作を追う際は、各ステップでテープの内容がどのように変化し、ヘッドがどこに移動し、状態がどのように遷移するかを注意深く観察してください。特に、記号を「移動」させるために、一度読み取った記号を別の場所に書き込み、元の場所を空白にするという手順を確認できます。

  4. 状態: Rewind_for_Next_X (シフト処理後、次の 'x' を探すために左に戻る)

    • ヘッドが右端（またはシフト操作の最終位置）から左へ移動し始めます。
    • ヘッド位置... 左移動... 左移動...
    • ヘッド位置 1: 左端（'a' の左隣、または特別な左端記号）に到達。
    • 状態 Find_X へ遷移。ヘッドは右移動（位置1の 'a' へ）。

  5. 状態: Find_X (左端に戻って再度 'x' を探す)

    • ヘッド位置 1: 'a' を読む -> 'a' のまま, 右移動, 状態 Find_X
    • ヘッド位置 2: 'y' を読む (テープは既に abycdBBB# のようになっている) -> 'y' のまま, 右移動, 状態 Find_X
    • ヘッド位置 3: 'c' を読む -> 'c' のまま, 右移動, 状態 Find_X
    • ヘッド位置 4: 'd' を読む -> 'd' のまま, 右移動, 状態 Find_X
    • ヘッド位置 5: 'B' を読む -> 'B' のまま, 右移動, 状態 Find_X
    • ...空白記号を読みながら右へ移動...
    • ヘッド位置 ...: '#' を読む -> テープ終端に到達。
    • 状態 Halt へ遷移。

  6. 状態: Halt (処理終了)

    • シミュレーターの実行が停止します。最終的なテープ内容は abycdBBB# のようになっているはずです。

シミュレーターとの対応

シミュレーター上では、以下の要素が理論上の概念と対応します。

特定記号の削除という比較的単純な操作であっても、シングルテープチューリングマシンで効率的に実装しようとすると、複雑な状態遷移とテープ操作が必要になることが分かります。シミュレーターを用いて上記のステップを追体験することで、この複雑さがどのように実現されているのかを視覚的に理解し、チューリングマシンの計算能力とその限界の一端を感じ取ることができるでしょう。

結論

本記事では、チューリングマシンによる特定記号の削除と後続記号の左シフトという操作に焦点を当て、そのアルゴリズム概要、状態設計の考え方、そしてシミュレーター上での動作ステップ例を解説しました。単純な文字列操作も、チューリングマシンのモデル上で実現しようとすると、状態設計やテープ操作に工夫が必要となることがお分かりいただけたかと思います。

シミュレーターを活用する際は、単に実行結果を見るだけでなく、一歩ずつ実行を進めて、その都度「現在の状態」「ヘッド位置」「テープ内容」がどのように変化しているかを確認し、「どの遷移規則が適用されたか」を意識することが、チューリングマシンの動作原理を深く理解する鍵となります。ぜひ様々な入力テープで試してみてください。