チューリングマシンシミュレーター＆解説

チューリングマシンによるパターン認識：`010`を認識する例でシミュレーターを解説

はじめに

チューリングマシンは、計算の理論的なモデルとしてだけでなく、特定の文字列やパターンを認識するオートマトンとしても捉えることができます。計算機科学の学習においては、抽象的な定義だけでなく、具体的な問題がチューリングマシン上でどのように解決されるのかを理解することが重要です。本記事では、特定の文字列パターンである「010」を認識するチューリングマシンを例に、その設計思想と具体的な動作を解説します。さらに、それがシミュレーター上でどのように再現され、理論と実践が結びつくのかを詳しくご説明します。

チューリングマシンにおけるパターン認識（受理）とは

チューリングマシンが特定の文字列パターンを「認識する」とは、入力テープにそのパターンを含む文字列が与えられたときに、マシンが最終的に「受理状態」と呼ばれる特定の状態に遷移して停止することを指します。逆に、パターンを含まない文字列が与えられた場合は、受理状態以外の状態で停止するか、あるいは停止しないことがあります。

この「受理状態に到達して停止する」という挙動をもって、マシンはその入力文字列を「受理した」、つまり「認識した」と判断します。

010パターンを認識するチューリングマシンの設計

ここで、入力テープ上の文字列が、どこかに連続した「010」というパターンを含んでいる場合に受理状態に遷移するチューリングマシンを設計してみましょう。テープアルファベットは {0, 1, _}（0, 1, 空白）とします。

このマシンは、入力文字列を左から右へスキャンしながら、「0を見つけた」「その次に1を見つけた」「さらにその次に0を見つけた」という段階を追って状態を遷移させていきます。

状態と遷移の定義

必要な状態と遷移の概要は以下のようになります。

• q0 (初期状態): 0を探している状態です。
  • 0を読み取ったら、次の状態（0を見つけた状態）へ遷移します。
  • 1や空白を読み取った場合は、引き続き0を探すため、状態はq0のままテープを右に進めます。
• q1 (0を見つけた状態): 0の次に1を探している状態です。
  • 1を読み取ったら、次の状態（01を見つけた状態）へ遷移します。
  • 0を読み取った場合は、新しい0の始まりと見なせるため、状態はq1のままテープを右に進めるか、あるいは再びq0に戻り0を探し直す（この例ではq1のまま右に進む設計を採用します）。
  • 空白を読み取った場合は、パターンが途切れたとみなし、初期状態q0に戻ります。
• q2 (01を見つけた状態): 01の次に最後の0を探している状態です。
  • 0を読み取ったら、パターン「010」が完成したため、受理状態q_acceptへ遷移します。
  • 1を読み取った場合は、パターンが途切れたとみなし、初期状態q0に戻ります。
  • 空白を読み取った場合は、パターンが途切れたとみなし、初期状態q0に戻ります。
• q_accept (受理状態): パターン「010」を認識した状態です。この状態でマシンは停止し、入力を受理します。

簡単のため、書き込み記号は常に読み取り記号と同じとし、ヘッドは常に右へ移動するとします（受理状態への遷移を除く）。

以下に、遷移関数δを簡潔に表します。（状態, 読み取り記号） -> （書き込み記号, ヘッド移動方向, 次状態）

• δ(q0, 0) -> (0, R, q1)
• δ(q0, 1) -> (1, R, q0)
• δ(q0, ) -> (, R, q0)
• δ(q1, 0) -> (0, R, q1)
• δ(q1, 1) -> (1, R, q2)
• δ(q1, ) -> (, R, q0)
• δ(q2, 0) -> (0, R, q_accept) ※ 受理状態に遷移、ここで停止
• δ(q2, 1) -> (1, R, q0)
• δ(q2, ) -> (, R, q0)

具体的な動作例：シミュレーターでのステップ追跡

設計したチューリングマシンが、入力「_10101_」に対してどのように動作し、パターン「010」を認識するのかを追ってみましょう。シミュレーターの動作をイメージしながらステップを追います。

初期状態: テープ _ 1 0 1 0 1 _, ヘッド位置: テープの左端の空白, 現在の状態: q0

1. ステップ 1: (q0, ) -> (, R, q0)
   • テープ: _ 1 0 1 0 1 _, ヘッド位置: 1の上, 状態: q0
2. ステップ 2: (q0, 1) -> (1, R, q0)
   • テープ: _ 1 0 1 0 1 _, ヘッド位置: 0の上, 状態: q0
3. ステップ 3: (q0, 0) -> (0, R, q1)
   • テープ: _ 1 0 1 0 1 _, ヘッド位置: 最初の1の上, 状態: q1 (0を見つけた)
4. ステップ 4: (q1, 1) -> (1, R, q2)
   • テープ: _ 1 0 1 0 1 _, ヘッド位置: 2つ目の0の上, 状態: q2 (01を見つけた)
5. ステップ 5: (q2, 0) -> (0, R, q_accept)
   • テープ: _ 1 0 1 0 1 _, ヘッド位置: 2つ目の1の上, 状態: q_accept (受理状態)

マシンは受理状態q_acceptに到達して停止しました。これは、入力文字列「_10101_」がパターン「010」を含んでいることを正しく認識したことを示しています。

シミュレーターとの対応

このようなステップごとの動作は、チューリングマシンシミュレーター上で視覚的に追跡することができます。

• テープ表示エリア: ステップごとにテープの内容とヘッドの位置が更新されて表示されます。上記の例であれば、ステップごとにヘッドが右に移動していく様子が確認できます。
• 状態表示エリア: 現在マシンがどの状態にあるか（q0, q1, q2, q_acceptなど）が表示されます。上記の例では、q0 -> q0 -> q0 -> q1 -> q2 -> q_accept と状態が遷移していくのが確認できます。
• 遷移情報表示: 現在の状態と読み取った記号に基づき、どの遷移規則（例: δ(q2, 0) -> (0, R, q_accept)）が適用されたか、書き込む記号、ヘッドの移動方向、次の状態が示されます。これが理論上の遷移関数と直接的に対応します。

シミュレーターを使うことで、抽象的な遷移規則の集まりが、入力に対して具体的にどのように作用し、テープや状態が変化していくのかを、あたかもマシンが目の前で動作しているかのように理解することができます。設計した遷移関数が意図通りに機能しているかを確認する上で、シミュレーターは非常に強力なツールとなります。

まとめ

本記事では、チューリングマシンが特定の文字列パターン「010」を認識する仕組みを、具体的な設計と動作例を通して解説しました。状態遷移の設計がいかに重要であるか、そしてその理論がシミュレーター上でどのように具体的なテープやヘッドの動き、状態の変化として表現されるかを示しました。

チューリングマシンシミュレーターを用いて、今回設計したマシンの動作を様々な入力で試してみてください。「0010」や「0110」など、パターンを含むもの、含まないもの、あるいは複数のパターンを含むものなど、様々なケースでシミュレーターを動かすことで、遷移規則の意味やパターンの認識プロセスへの理解がさらに深まるでしょう。

チューリングマシンは、一見シンプルなモデルでありながら、計算可能性の限界や複雑性の理論を探求する上での基礎となります。シミュレーターでの実践的な学習を通して、この強力な理論モデルへの理解を確固たるものにしてください。